# A tibble: 20 × 4
ek_id dosis_num dosis_fac zellzahl
<int> <dbl> <fct> <dbl>
1 1 0 0 39
2 2 0 0 45
3 3 0 0 81
4 4 0 0 51
5 5 0 0 53
6 6 0 0 84
7 7 0 0 59
8 8 0 0 25
9 9 0 0 36
10 10 0 0 41
11 11 100 100 104
12 12 100 100 87
13 13 100 100 88
14 14 100 100 82
15 15 100 100 69
16 16 100 100 116
17 17 100 100 90
18 18 100 100 41
19 19 100 100 94
20 20 100 100 71
12-Grundlagen des experimentellen Designs (Teil 2)
Data Science 2
Universität Hamburg, IMF
Sommersemester 2024
Grundzüge des experimentellen Designs
Die grundlegende Gleichung der Versuchsplanung
Komponente 4 der Gleichung
4 Typen von Fehlern
Completely Randomised Design (CRD)
Alle experimentellen Einheiten sind unabhängig und können zufällig allen Kombinationen von Behandlungsstufen zugeteilt werden.
CRD - 1 Faktor (2 Gruppen)
Design
- N: 20 (Exp. Units: Erlenmeyerkolben)
- n: 10 (EK pro Dosis)
- Ergebnis: Zellzahl
- Behandlungseffekt: Dosis (fest) = {0, 100}
- Analyse: t-Test (oder 1-way ANOVA)
- Freiheitsgrade:
\begin{align*} \text{Ergebnis} &= \text{Dosis} + \text{Fehler}\\ \text{(N - 1)} &= \text{(p - 1)} + \text{(N - p)}\\ \text{(19)} &= \text{(1)} + \text{(18)} \end{align*}
CRD - 1 Faktor (2 Gruppen) | Beispielcode 1
Two Sample t-test
data: zellzahl by dosis_fac
t = -4, df = 18, p-value = 0.002
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 100 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-51.4 -14.2
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 100
51.4 84.2 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 1 5379 5379 13.7 0.0016 **
Residuals 18 7068 393
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
CRD - 1 Faktor (2 Gruppen) | Beispielcode 2
Richtiges Ergebnis trotz falschem Datentyp
Two Sample t-test
data: zellzahl by dosis_num
t = -4, df = 18, p-value = 0.002
alternative hypothesis: true difference in means between group 0 and group 100 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-51.4 -14.2
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 100
51.4 84.2 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_num 1 5379 5379 13.7 0.0016 **
Residuals 18 7068 393
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
CRD - 1 Faktor (4 Gruppen)
Design
- N: 20 (Exp. Units: Erlenmeyerkolben)
- n: 5 (EK pro Dosis)
- Ergebnis: Zellzahl
- Behandlungseffekt: Dosis (fest) = {0,50,100,150}
- Analyse: 1-way ANOVA (oder Regression)
- Freiheitsgrade:
Dosis ist kategorial (ANOVA): \begin{align*} \text{Ergebnis} &= \text{Dosis} + \text{Fehler}\\ \text{(N - 1)} &= \text{(p - 1)} + (\text{N - p})\\ \text{(19)} &= \text{(3)} + (\text{16}) \end{align*}
Dosis ist kontinuierlich (Regression): \begin{align*} \text{Ergebnis} &= \text{Dosis} + \text{Fehler}\\ \text{(19)} &= \text{(1)} + (\text{18}) \end{align*}
CRD - 1 Faktor (4 Gruppen) | ANOVA Tabelle
Typische Tabelle einer 1-faktoriellen Varianzanalyse
CRD - 1 Faktor (4 Gruppen) | 1-way ANOVA
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 3 9713 3238 7.42 0.0025 **
Residuals 16 6978 436
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
CRD - 1 Faktor (4 Gruppen) | Regression 1
Call:
lm(formula = zellzahl ~ dosis_num, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-48.72 -11.71 -2.55 11.90 36.84
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 58.3800 7.8256 7.46 6.5e-07 ***
dosis_num 0.3756 0.0837 4.49 0.00028 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 20.9 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.528, Adjusted R-squared: 0.502
F-statistic: 20.2 on 1 and 18 DF, p-value: 0.000283
CRD - 1 Faktor (4 Gruppen) | Regression 2
Call:
lm(formula = zellzahl ~ dosis_fac, data = df)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-41.4 -11.8 -1.8 10.4 35.0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 53.80 9.34 5.76 0.000029 ***
dosis_fac50 25.20 13.21 1.91 0.07451 .
dosis_fac100 52.20 13.21 3.95 0.00114 **
dosis_fac150 53.60 13.21 4.06 0.00091 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 20.9 on 16 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.582, Adjusted R-squared: 0.504
F-statistic: 7.42 on 3 and 16 DF, p-value: 0.00247
ANOVA oder besser Regression? | Design
Zusammenfassung des Designs
- Daten:
fluoxetineim labstats Paket - N: 20
- Ergebnis Y: totale Immobilitätszeit im Schwimmtest (
time.immob) - Behandlungseffekte: Dosis (fest) = {0, 80, 160, 240}
- Dosis kann als kategoriale und stetige Variable behandelt werden:
ANOVA oder besser Regression? | Analyse 1
Vergleich FG und p
ANOVA oder besser Regression? | Analyse 2
Vergleich FG und p
Call:
lm(formula = time.immob ~ dose, data = fluoxetine)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-85.0 -12.5 6.3 19.5 73.0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 170.4400 14.8368 11.49 1e-09 ***
dose -0.2520 0.0991 -2.54 0.02 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 39.7 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.264, Adjusted R-squared: 0.223
F-statistic: 6.46 on 1 and 18 DF, p-value: 0.0204
CRD - 2 gekreuzte Faktoren (je 2 Gruppen)
Gekreuztes Design
- N: 20 (Erlenmeyerkolben)
- n: 5 (EK pro Dosis/Typ)
- Ergebnis: Zellzahl
- Behandlungseffekte:
- Dosis (fest) = {0, 100}
- Typ (fest) = {1, 2}
- Dosis (fest) = {0, 100}
- Analyse: 2-way crossed/factorial ANOVA
CRD - 1 Faktor (2 Gruppen) mit Unterprobe
Verschachteltes Design
- N: 8 (Exp. Units: Erlenmeyerkolben)
- n: 3 (Objektträger als Unterproben pro EK)
- Ergebnis: Zellzahl
- Effekte:
- Behandlungseff.: Dosis (fest) = {0, 100}
- Technischer Eff.: EK (zufällig) = {1,2,3,..,8}
- Analyse: 2-way nested ANOVA (oder ‘summary measure’ analysis)
- Freiheitsgrade:
\begin{align*} \text{Ergebnis} &= \text{Dosis} + \text{Fehler}\\ \text{(N - 1)} &= \text{(p - 1)} + \text{(N - p)}\\ \text{(7)} &= \text{(1)} + \text{(6)} \end{align*}
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Ansätze
- Falscher Ansatz:
- 1-faktorielle ANOVA, ohne Berücksichtigung der Pseudoreplikation
- Richtige Ansätze:
- 1-faktorielle ANOVA mit gemittelten Unterprobewerte (‘summary measure’ analysis).
- 2-faktorielle ANOVA, genestetes Design: mit der
Error()Funktion innerhalb deraov()Formel. - Lineares gemischtes Modell (LME) mit dem R Paket nlme oder lme4.
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Falscher Ansatz
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 1 6834 6834 167 9.4e-12 ***
Residuals 22 900 41
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1- Die Freiheitsgerade der Residuen betragen hier 22!
- Die FG zur Berechnung des F- und p-Werts der Behandlungsvariable (Dosis) dürfen nicht höher sein als die experimentellen Einheiten selbst (hier 8).
- Dadurch ist der F-Wert viel höher und der p-Wert viel niedriger als korrekt wäre.
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Ansatz 1
1-faktorielle ANOVA mit gemittelten Unterprobewerten
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 1 2278 2278 83.9 0.000095 ***
Residuals 6 163 27
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1- Hier wird das Problem der Pseudoreplikation durch die Mittelwertbildung gelöst.
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Ansatz 2
2-faktorielle ANOVA, genestetes Design: Error() in aov()
Error: ek_id_fac
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 1 6834 6834 83.9 0.000095 ***
Residuals 6 489 81
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 16 411 25.7 - Wenn das Design ausbalanciert ist, dann entspricht das Ergebnis der oberen ANOVA Tabelle dem der ‘summary measure’ ANOVA.
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Ansatz 2
Wenn die ID der Erlenmeyerkolben nicht einmalig ist
Error: ef_falsch_codiert
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals 3 413 138
Error: Within
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
dosis_fac 1 6834 6834 267 1.2e-12 ***
Residuals 19 486 26
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Konsequenzen falscher Kodierung
- Hier denkt R, dass das Design für Dosis und Proben gekreuzt und nicht genestet ist.
- Der Behandlungseffekt ist jetzt in die untere
Error: WithinANOVA Tabelle gerutscht und hier sind auch wieder die Freiheitsgrade zu hoch, was zu einem verfälschten F- und p-Wert führt!
CRD - 1 Faktor mit Unterprobe | Ansatz 3 mit dem nlme Paket
2-faktorielle ANOVA, genestetes Design: random Argument in lme()
numDF denDF F-value p-value
(Intercept) 1 16 1452 <.0001
dosis_fac 1 6 84 0.0001- Sogenannte ‘mixed-effects models’ (gemischte, hierarchische oder multi-level Modelle genannt) sind komplexer und haben mehr Annahmen, z.B. dass die Verteilung des zufälligen Faktors normal ist.
- Standardwerk für diese Modelle ist Mixed-Effects Models in S and S-Plus von Pinheiro und Bates.
- Eine gute und kurze Einführung gibt es auch in The R Book von Micheal J. Crawley
- Nützliche R Pakete sind nlme and lme4.
CRD - Komplexe verschachtelte Designs
Beispiel: Räumliche Variabilität von Blattlausdichten
- Gerade bei räumlichen und zeitlichen Feldstudien ist das Beprobungsdesign oft stark verschachtelt.
- → Der größte Beprobungsaufwand sollte auf der Skala mit der höchsten Varianz erfolgen (viele Wiederholungen)!
Designtypen und geeignete Analysen - BRD, RM, Split-Plot Design
Randomised Block Design (RBD) | 1
- Versuchseinheiten, die ähnliche Hintergrundbedingungen aufweisen, werden in ‘Blöcken’ gruppiert.
- Dadurch kann ein Teil der Gesamtvariation in der Antwortvariablen durch Unterschiede zwischen den Blöcken erklärt und somit die (unerklärte) Restvariabilität verringert werden.
Randomised Block Design (RBD) | 2
- Experimentelle Einheiten werden den Behandlungsstufen innerhalb eines Blocks zufällig zugeordnet.
- Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten eingeschränkt.
- Im Idealfall sind alle Behandlungsstufen in allen Blöcken zu gleichen Anteilen vertreten.
Repeated Measures (RM) Design | 1
- Auch Längsschnittstudie oder Longitudinalstudie genannt.
- Hier werden mehrere Messungen mit der gleichen experimentellen Einheit über die Zeit gemacht → diese sind daher zeitlich voneinander abhängig!
Split-Plot Design | 2
Übungsaufgaben
Übungstag 6
Poweranalyse und experimentelles Design
- Aufgaben:
- 6.1 Poweranalyse und Bestimmung des Stichprobenumfangs
- 6.2 Nachbereitung Fallstudie: Frage 4 und 5 - Bestimmung des Stichprobenumfang und Evaluation des experimentellen Designs und der Analyse
- R Notebook-Skript:
- DS2_06_UebungenPoweranalyse_expDesign_Fallstudie.Rmd
Abschlussquiz
Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de
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