2-Wahrscheinlichkeitstheorie

Data Science 2

Saskia Otto & Monika Eberhard

Universität Hamburg, IMF & IZS

Sommersemester 2026

Lernziele

Am Ende dieser VL- und Übungseinheit werden Sie

Ergebnis- oder Stichprobenräume (mittels Kombinatorik) bestimmen können.
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit Hilfe der klassischen oder empirischen Wahrscheinlichkeitsrechnung ermitteln können.
Wahrscheinlichkeiten von zusammengesetzten Ereignissen unter Verwendung der Additions- und Multiplikationsregeln bestimmen können.
bedingte Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses bestimmen können.
die Sensitivität und Spezifität eines medizinischen Tests definieren können.

Ein paar Begriffe vorab

Begriff	Definition	Beispiel
Zufallsexperiment	Prozess, der zu genau definierten Ergebnissen (im Englischen ‘outcomes’) führt.	Würfelexperiment
Ergebnis \omega	Resultat oder Ausgang eines einzelnen Versuchs eines Zufallsexperiments bzw. Element der Ergebnismenge \Omega	Zufällig geworfene Augenzahl bei einem Würfel. Mögliche Ausgänge sind die Zahlen von 1 bis 6: \omega_{1}=1, \omega_{2}=2, .., \omega_{6}=6
Ergebnisraum/-menge \Omega	Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments mit der Wahrscheinlichkeit 1 (100%)	Beim Würfel ist \Omega = {1,2,3,4,5,6} → 6 mögliche Ergebnisse
Ereignis (Zufallsereignis)	Besteht aus einer Menge von Ergebnissen, dem eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Ein Ereignis tritt ein, wenn es das Ergebnis des Zufallsexperiments als Element enthält.	Das Ereignis “eine gerade Zahl zu würfeln” ist die Teilmenge {2,4,6} aus der Ergebnismenge {1,2,3,4,5,6}

Kriterien eines Zufallsexperiment

Alle möglichen Ausgänge sind vorab bekannt.
Der einzelne Ausgang ist nicht vorhersehbar (Zufälligkeit).
Der Zufallsversuch kann beliebig oft wiederholt werden.
Ein Zufallsversuch muss immer unter gleichen Bedingungen wiederholt werden.
Ein Zufallsversuch kann einstufig oder mehrstufig sein. Im zweiten Fall können die Stufen stochastisch unabhängig oder abhängig sein.
- Einmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne.
- Ziehen mehrerer Kugeln aus einer Urne (mit oder ohne Zurücklegen).

Der Ergebnisraum | Beispiel 1

Bei 2 Würfeln enthält der Ergebnisraum 6 * 6 = 36 mögliche Ergebnisse (‘outcomes’).

Der Ergebnisraum | Beispiel 2

Wie viele Elemente enthält der Ergebnisraum für das Ziehen einer Karte aus einem gewöhnlichen Kartenspiel?

Bildquelle: www.pixabay.com

Ein kleiner Diskurs in die Kombinatorik..

Regeln der Kombinatorik

In vielen Fällen muss die Anzahl aller möglichen Ergebnisse für eine Folge von Ereignissen berechnet werden.

Beispiel: Münze & Würfel

Wie viele mögliche Ausgänge bzw. Ergebnisse gibt es, wenn zuerst eine Münze geworfen wird und dann der Würfel?

Beispiel 1: Münze & Würfel | Baumdiagramm

Zur Visualisierung von Ergebnisräumen

Beispiel 1: Münze & Würfel | Regel

Anzahl an Ausgängen Münze: k_1 = 2
Anzahl an Ausgängen Würfel: k_2 = 6

Grundlegende Zählregel

Werden n voneinander unabhängige (ev. verschiedene) Zufallsexperimente durchgeführt und besteht das erste Experiment aus k_1 möglichen Ergebnissen, das zweite aus k_2, dann sind k_1*k_2*...*k_n die möglichen verschiedenen Ergebnisvariationen.

➜ Es gibt entsprechend 2*6 = 12 mögliche Ausgänge.

Das Urnenmodell

4 Typen eines mehrstufigen Experiments

Beispiel 2: 4-stellige Proben-ID

In einem Experiment sollen 4-stellige IDs für die Proben vergeben werden.
Wie viele verschiedene IDs können vergeben werden, wenn nur die Ziffern 1 bis 6 verwendet werden (mit und ohne Wiederholung, Reihenfolge ist relevant)?

Mit Wiederholung/Zurücklegen

n = 6 (1,2,3,4,5,6)
k = 4
6*6*6*6 = 6^4 = 1296

→ Allgemeine Zählregel

Ohne Wiederholung/Zurücklegen

Ziffer 1 hat 6 Möglichkeiten,
Ziffer 2 nur noch 5,
Ziffer 3 hat 4 und
Ziffer 4 nur noch 3 Möglichkeiten.
6*5*4*3 = 360 bzw. \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{6!}{(6-4)!}=\frac{720}{2} = 360

→ Permutationsregel

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt…

Die Kombinationsregel

Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat ein Forscher, aus 10 Ratten 5 Ratten auszuwählen und jede einem anderen Test zu unterziehen?

Ziehung ohne Zurücklegen und OHNE Beachtung der Reihenfolge

Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt man hierbei die Reihenfolge außer acht, ergeben sich für k Objekte \frac{n!}{k!(n-k)!} mögliche Kombinationen:

\frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{3628800}{120*120} = 252

Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt…

Permutationssregel

In einer Studie soll ein Landschaftsschutzgebiet (LSG) im Frühjahr, ein anderes im Herbst untersucht werden. Beide LSG werden aus einer Gruppe von insgesamt 9 LSG (A-I) zufällig ausgewählt.
Wie viele Permutationen sind möglich und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass LSG F im Frühjahr und H im Herbst beprobt wird?

Ziehung ohne Zurücklegen und MIT Beachtung der Reihenfolge

Bei Berücksichtigung der Reihenfolge ergeben sich für k=2 Objekte (aus n=9):

\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{362880}{5040} = 72

Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit: P(F,H) = \frac{1}{72}

Bildquelle: Wikipedia(CO 1.0 Lizenz)

..zurück zur Wahrscheinlichkeit

Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich das Eintreten eines bestimmten Ereignisses ist, und wird als Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher) angegeben.

Wie wird Wahrscheinlichkeit interpretiert und bestimmt?

Was IST Wahrscheinlichkeit? (philosophisch-konzeptionell)
- Frequentistische Auffassung (objektivistisch)
- Bayesische Auffassung (subjektivistisch)
Wie BESTIMMEN wir sie? (methodisch)
- Klassisch/theoretisch: Modellannahmen → Laplace-Formel
- Empirisch: Beobachtungsdaten → relative Häufigkeit

→ Die Interpretation beeinflusst, welche Bestimmungsmethode sinnvoll ist — aber die Rechenregeln gelten für beide.

Zwei Wege der Interpretation

Frequentistisch Sicht → Grundlage der klassischen Inferenzstatistik

Eine Wahrscheinlichkeit ist die langfristige relative Häufigkeit eines Ereignisses, wenn ein Experiment unendlich oft wiederholt wird

Beispiel: P(Kopf) = 0.5 bedeutet, dass beim häufigen Werfen einer Münze langfristig in etwa die Hälfte der Würfe “Kopf” ergibt.

Bayes’sche Sicht

Wahrscheinlichkeit beschreibt einen subjektiven Grad der Überzeugung bzw. der Unsicherheit, aktualisiert durch Evidenz.

Beispiel: P(Kopf) = 0.5 und P(Zahl) = 0.5 drücken die Unsicherheit aus – beim Münzwurf ist man gleichermaßen unsicher, welches Ergebnis als Nächstes eintritt.

Beide Sichtweisen sind nützlich, und die zugrunde liegenden Berechnungen gelten für beide Ansätze. Häufig – wie in den obigen Beispielen – beschreiben beide eine Situation ausreichend gut.

Klassischer Ansatz (LaPlace, Bernoulli)

aus dem Glücksspiel entwickelt (17./18. Jhd.)
verwendet Ergebnisräume um Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, dass ein Ereignis eintritt
braucht kein Experiment
Ein einzelner Versuch hat endlich viele, gleich wahrscheinliche Ausgänge (der ideale Würfel).

Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis E ist

P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse in E}}{\text{Gesamtzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum}}

Empirische Wahrscheinlichkeit

Beruht auf der gemessenen Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses → relative Häufigkeitswahrscheinlichkeit
Grundlage der frequentistischen Statistik
P entspricht dem Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens des Ereignisses

Formel der empirischen Wahrscheinlichkeit

P(E) = lim(rel.Häufigkeit)=\frac{lim(Anzahl~Ereignis)}{Stichprobenzahl}

Anwendungsbeispiel 1: Das Problem von Galilei

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?

Der Ergebnisraum umfasst insgesamt 216 Ergebnisse (6^3= 216)
Wie viele Ergebnisse ergeben in der Summe 9 bzw. 10?

Das Problem von Galilei | Summe 9

25 Ergebnisse ergeben in der Summe 9:

Das Problem von Galilei | Summe 10

27 Ergebnisse ergeben in der Summe 10:

Das Problem von Galilei | Theoretischer Ansatz

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?

Der Ergebnisraum umfasst insgesamt 216 Ergebnisse (6 * 6 * 6 = 216)
Wie viele Ergebnisse ergeben in der Summe 9 bzw. 10? 25 bzw. 27

Berechnung

P(\text{Summe 9}) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{25}{216} = 0.1157

P(\text{Summe 10}) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{27}{216} = 0.1250

Das Problem von Galilei | Empirischer Ansatz

Theoretische Werte: P(Summe 9) = 0.1157 und P(Summe 10) = 0.1250

Funktion

calc_prob <- function(n = 100) {
  # Erstellung leerer Vektoren
  true9<- vector("logical", n)
  true10 <- vector("logical", n)
  # Schleife
  for (i in 1:n) {
    # '3-maliges Würfel'
    sum3 <- sum(sample(1:6,3,replace = T))
    # Ist die Summe 9 oder 10?
    true9[i] <- ifelse(sum3 == 9, T, F)
    true10[i] <- ifelse(sum3 == 10, T, F)
  }
  # Ausgabevektor: Anzahl Summe 9 bzw. 10
  out <- c(
    prob9 = round(sum(true9)/n, 4), 
    prob10 = round(sum(true10)/n, 4)
  )
  return(out)
}

Simulation

calc_prob(n = 20)

 prob9 prob10 
  0.05   0.20

calc_prob(n = 20)

 prob9 prob10 
  0.00   0.15

calc_prob(n = 20)

 prob9 prob10 
  0.10   0.15

calc_prob(n = 100)

 prob9 prob10 
  0.08   0.17

calc_prob(n = 100)

 prob9 prob10 
  0.08   0.15

calc_prob(n = 100000)

 prob9 prob10 
 0.118  0.126

calc_prob(n = 100000)

 prob9 prob10 
 0.114  0.126

Rechenregeln der Wahrscheinlichkeit | 1

Die folgenden 6 Regeln lassen sich auf drei grundlegende Axiome zurückführen, die der russische Mathematiker Andrei Kolmogorov 1933 formuliert hat — sie sind mathematische Wahrheiten, keine Interpretationsfrage.

Egal ob frequentistisch oder bayesianisch — die Mathematik der Wahrscheinlichkeit ist dieselbe.

Rechenregeln der Wahrscheinlichkeit | 2

Rechenbeispiel: Additionsregel

Wann sind die Windsurfbedingungen ungünstig (mindestens eine Bedingung trifft zu)?

Ereignis A = “Windstärke < 4 Knoten” mit P(A) = 0.4
Ereignis B = “Wassertemperatur < 5°C” mit P(B) = 0.3
P(A\text{ und }B) = P(A \cap B) = 0.1 → was ist P(A \cup B) bzw. P(A\text{ oder }B)?

Allgemeiner Fall - beide Ereignisse können gemeinsam auftreten

Allgemeine Additionsregel (Regel 2)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6

Sonderfall — beide Ereignisse schließen sich aus

Spezielle Additionsregel (Regel 3)

Angenommen (hypothetisch), Wind und Kälte träten nie gleichzeitig auf, d.h. P(A \cap B) = 0:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.4 + 0.3 = 0.7

Rechenbeispiel: Subtraktionsregel (Regel 4)

Kann ich meinen Regenschirm morgen zuhause lassen?

Ereignis A = “Es regnet morgen” mit P(A) = 0.2
→ was ist das Komplement P(A^c)?
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht regnet, beträgt 80 %.

Anwendungsbeispiel 2: De-Méré-Paradoxon

Was ist wahrscheinlicher, in vier Würfen eines einzelnen Würfels mindestens eine ‘6’ zu würfeln (Variante A) ODER in 24 Würfen eines Würfelpaars mindestens eine ‘Doppelsechs’ zu erzielen (Variante B)?

→ Anwendung der speziellen Multiplikationsregel (Regel 5) und der Subtraktionsregel (Regel 4):

Variante A

P(\text{viermal nicht 6}) = \frac{5}{6}*\frac{5}{6}*\frac{5}{6}*\frac{5}{6} = 0.482

P(\text{mindestens eine 6}) = 1 - 0.482 = 0.518

Variante B

P(\text{keine Doppelsechs in 24 Würfen}) = (\frac{35}{36})^{24} = 0.509

P(\text{mindestens eine Doppelsechs}) = 1 - 0.509 = 0.491

De-Méré-Paradoxon | Empirischer Ansatz 1

Funktion

calc_prob2 <- function(n = 100) {
  successA <- vector("logical", n)   # Variante A
  for (i in 1:n) {
    rdraw <- sample(1:6, 4, replace = TRUE)
    successA[i] <- ifelse(6 %in% rdraw, TRUE, FALSE)
  }
  probsA <- round(sum(successA)/n, 4)
  successB <- vector("logical", n)  # Variante B
  for (i in 1:n) {
    ind_success <- vector("logical", 24)
    for (j in 1:24) {
      rdraw <- sample(1:6, 2, replace = TRUE)
      ind_success[j] <- ifelse(all(rdraw == c(6,6)), TRUE, FALSE)
    }
    successB[i] <- any(ind_success)
  }  
  probsB <- round(sum(successB)/n, 4)
  out <- c(probsA = probsA, probsB = probsB)   # Ausgabe
  return(out)
}

De-Méré-Paradoxon | Empirischer Ansatz 2

Theoretische Werte: P(Variante A) = 0.518 und P(Variante B) = 0.491

Simulation

calc_prob2(n = 20)

probsA probsB 
  0.55   0.60

calc_prob2(n = 20)

probsA probsB 
  0.45   0.50

calc_prob2(n = 20)

probsA probsB 
  0.45   0.40

calc_prob2(n = 100)

probsA probsB 
  0.53   0.42

calc_prob2(n = 100)

probsA probsB 
  0.55   0.58

calc_prob2(n = 100000)

probsA probsB 
 0.519  0.491

calc_prob2(n = 100000)

probsA probsB 
 0.516  0.489

Rechenbeispiel: Multiplikationsregel

- bei abhängigen Ereignissen (Regel 6)

Wie viele Studierende trinken sowohl Tee als auch Kaffee?

Ereignis T = “trinkt Tee” mit P(T) = 0.4
Ereignis K = “trinkt Kaffee” mit P(K|T) = 0.5
(Wahrscheinlichkeit Kaffee zu trinken, gegeben dass eine Person auch Tee trinkt)
→ was ist P(T\text{ und }K) = P(T \cap K)?
P(T \cap K) = P(T) \cdot P(K|T) = 0.4 \times 0.5 = 0.2
→ 20 % der Studierenden trinken beides — von den 40 % Teetrinkern mag die Hälfte auch Kaffee.

Rechenbsp.: Multiplikationsregel — umgekehrt

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Häufig kennt man die gemeinsame - P(A \cap B) - und die marginale Wahrscheinlichkeit - P(A), P(B) -, aber nicht die bedingte - P(A|B) bzw. P(B|A).

Wir kennen P(T \cap K) und P(K) — wie viele Teetrinker gibt es unter den Kaffeetrinkern?

Ereignis K = “trinkt Kaffee” mit P(K) = 0.6
P(T \cap K) = 0.2 (aus dem vorherigen Beispiel)
→ was ist P(T|K)?
P(T|K) = \frac{P(T \cap K)}{P(K)} = \frac{0.2}{0.6} = 0.33
→ Unter den Kaffeetrinkern trinken 33 % auch Tee.

Bedingte Wahrscheinlichkeit & Satz von Bayes

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist.

Was könnten mögliche Fragestellungen sein?

Bedingte Wahrscheinlichkeit | Beispiele

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ..

ein Individuum auf einem Bild wirklich zu Art A gehört, wenn die automatisierte Bildklassifizierung es dorthin einordnet?
eine Frau bei einem positiven Schwangerschaftstest tatsächlich schwanger ist?
ein/e Student/in in einem Masterprogramm aufgenommen wird UND ein Zimmer im Studentenwohnheim bekommt?

Warum bedingte Wahrscheinlichkeit?

Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, einen seltenen Blauwal vor der Küste zu sichten, beträgt:

P(\text{Sichtung}) = 0.05

Nun erfahren wir zusätzlich: Es wurde ein großes Krill-Vorkommen gemeldet.

→ Ändert das unsere Einschätzung?

Ja! Wir würden P(\text{Sichtung}) nach oben korrigieren — weil wir neue Information erhalten haben.

→ Das ist das Prinzip der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Intuition

Die Zusatzinformation verändert den Stichprobenraum:

Wir fragen nicht mehr “Wie oft wird ein Wal gesichtet?”, sondern:

“Wie oft wird ein Wal gesichtet, gegeben dass Krill vorhanden ist?”

Anwendungsbeispiel: Ökologisches Monitoring

Ist die Gewässerbelastung ein Risikofaktor für einen rückläufigen Krötenbestand?

Empirisches Beispiel: Krötenbestand & Gewässerbelastung

In einem Monitoring wurden 200 Standorte untersucht:

	belastet (B)	nicht belastet (B^c)	Gesamt
Bestand rückläufig (A)	60	20	80
Bestand stabil (A^c)	40	80	120
Gesamt	100	100	200

P(A) = \frac{80}{200} = 0.4 \qquad P(B) = \frac{100}{200} = 0.5 \qquad P(A \cap B) = \frac{60}{200} = 0.3

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6

→ Wenn ein Standort belastet ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines rückläufigen Bestands nicht 40 %, sondern 60 %!

Vom Monitoring zur Diagnostik — Warum Bayes?

Im Krötenbeispiel kannten wir P(A \cap B) und P(B) direkt aus den Daten.

Aber was, wenn wir diese nicht direkt kennen — sondern nur:

die Prävalenz eines Ereignisses: P(A)
die bedingte Wahrscheinlichkeit in die eine Richtung: P(B|A)

→ Wir suchen aber P(A|B) — die Richtung ist umgekehrt!

Der Satz von Bayes

löst genau dieses Problem: Er “dreht” eine bedingte Wahrscheinlichkeit um — aus P(B|A) und P(A) wird P(A|B).

Wir brauchen die Bayessche Formel

Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik

Die Wirksamkeit des Corona Schnelltests:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?

→ gesucht wird P(A|B), also P(infiziert|positiv)

Angenommen

Prävalenz ist 0.05% (5 von 10000 Einwohner sind infiziert)
Sensitivität ist 80%
Spezifität ist 98%

Bildquelle: de.freepik.com

Medizinische Diagnostik | Begriffe

Vorab ein paar Begriffserklärungen

Prävalenz: Häufigkeit einer Infektion, Krankheit oder eines Symptoms in einer Population zu einem bestimmten Zeitpunkt. → P(infiziert) bzw. P(A)
Sensitivität: Anteil richtig positiver Ergebnisse, wenn die Untersuchten tatsächlich infiziert sind. → In unserem Beispiel P(positiv|infiziert) bzw. P(B|A)
Spezifität: Anteil der richtig negativen Testergebnissen unter allen gesunden Untersuchten. → In unserem Beispiel P(negativ|nicht\:infiziert) bzw. P(nB|nA)

Medizinische Diagnostik | Bayes

Medizinische Diagnostik | Berechnung

P(A|B) = \frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(A)*P(B|A)+P(nA)*P(B|nA)}

P(A|B) =\frac{0.0005*0.8}{0.0005*0.8+0.9995*0.02}=\frac{0.0004}{0.0204} = 0.0196

→ Die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Testergebnis tatsächlich infiziert ist, liegt bei NUR 1.96 %, wenn die Prävalenz 0.05 % beträgt!!!!

Der Satz von Bayes

…gehört zu den wichtigsten Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wurde vom englischen Mathematiker Thomas Bayes entwickelt und 1763 in An essay towards solving a problem in the doctrine of chances veröffentlicht.

Bildquelle: Wikimedia Commons(CCO 1.0 Lizenz)

Übungsaufgaben

Übungstag 1

Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgaben:
- Vorbereitung @home: Glücksspiele
- Aufgaben @Übungsstunde
  - Einfache Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten
  - Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes
R Notebook-Skript:
- DS2_01_Uebungen_Wahrscheinlichkeitstheorie.Rmd

Fragen?

Abschlussquiz

Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de

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