Biologische Prozesse mathematisch beschreiben

Data Science 1 - Programmieren & Visualisieren

Saskia Otto

Universität Hamburg, IMF

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Auf Zusammenhänge testen

Korrelation

  • Prüfen von Beziehungen ohne Kausalität.
  • Das Skalenniveau kann ordinal oder metrisch sein.
  • Beide Variablen sind zufällige Variablen, es wird keine manipuliert.
  • Je nach Skalenniveau und Verteilung wird der Korrelationstyp gewählt.

Regression

  • Prüfen von Beziehungen mit Kausalität.
  • Beide Variablen müssen metrisch sein.
  • Unterscheidet in
    • Abhängige oder Antwortvariable Y
    • Unabhängige oder erklärende Variable X; diese wird meist manipuliert.

Korrelation

Charakterisierung bivariater Beziehungen

  • Form (linear, nicht-linear, quadratisch)
  • Richtung (positiv, negativ)
  • Stärke (wie viel Streuung/Rauschen?)
  • Ausreißer

Quantifizierung der Stärke und Richtung von bivariaten Beziehungen

  • Messgröße: Korrelationskoeffizient
  • Wertebereich: -1 bis +1
    • Das Vorzeichen gibt die Richtung der Beziehung an.
    • Der Betrag die Stärke
      • 0 = keine Korrelation
      • -1 = starke negative Korrelation
      • +1 starke positive Korrelation

Wichtig

→ Dies gilt allerdings nur bei linearen Zusammenhängen!

Verschiedene Arten von Beziehungen | 1

  • positiv, linear, moderate Streuung

Verschiedene Arten von Beziehungen | 2

  • nicht-linear (perfekte Beziehung, keine Streuung)

Verschiedene Arten von Beziehungen | 3

  • perfekt linear mit Ausreißern

Verschiedene Arten von Beziehungen | 4

  • keine Beziehung

Korrelationsspiel

Mal sehen, wie gut Ihr “Bauchgefühl” über die Richtung und Stärke einer Korrelation ist:

Link: https://saskiaotto.de/shiny/correlation/

Ursache-Wirkung

Negative Korrelation (Beziehung) zwischen der Napfschneckenabundanz und dem Grad der Algenbedeckung → Was könnte die Ursache sein?

Möglichkeit 1

→ Eine höhere Napfschneckenzahl ‘verursacht’ eine geringere Algenbedeckung durch Wegfraß.

Möglichkeit 2

→ Ein hoher Algenbewuchs ‘verursacht’ eine geringere Napfschneckenzahl durch Konkurrenz um Platz.

Korrelation vs. Kausalität

Videolink: https://www.youtube.com/watch?v=VMUQSMFGBDo

Wie wird die Korrelation berechnet?

Streuungsparameter bei 1 vs. 2 Variablen

Varianz von X

\[s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}SS_X\]

Kovarianz zwischen X und Y

\[Cov(x,y)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i- \bar{x})(y_i- \bar{y}) = \frac{1}{n-1}SS_{XY}\]

Visualisierung der Summenquadrate | 1

\(SS_{X}\) bzw. ‘Sums of Squares of X’

Visualisierung der Summenquadrate | 2

\(SS_{XY}\) bzw. ‘Sums of Squares of X and Y’

Standardisierung der Kovarianz

Kovarianz

  • Ein Maß für die Stärke einer linearen Beziehung
  • Einschränkung: absolute Größe hängt von den Einheiten der beiden Variablen ab.

\[Cov(X,Y)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i- \bar{x})(y_i- \bar{y})\]

Lösung: Maximale Kovarianz

  • Standardisierung der Kovarianz mit den beiden Standardabweichungen, so dass das Maß der Stärke zwischen -1 und +1 liegt
    • → Pearson Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient

\[ Cov(x,y)_{max} = s_x*s_y\]

Parametrischer Korrelationskoeffizient

Pearson Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient \(\rho\)

  • Der Korrelationskoeffizient r (bzw. \(\rho\) für die Population) wird durch das Verhältnis zwischen der Kovarianz und der maximalen Kovarianz quantifiziert:

\[r_{x,y} = \frac{Cov(x,y)}{Cov(x,y)_{max}} = \frac{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i- \bar{x})(y_i- \bar{y})}{s_x*s_y}\]

  • \(r = \sqrt{R^2}\) → r ist die Quadratwurzel des “Bestimmtheitsmaßes” \(R^2\)
  • \(r = [-1,+1]\) → \(R^2\) ist immer positiv, während \(r\) die Richtung des Zusammenhangs angibt!

Biologische Prozesse mit Modellen beschreiben

Modelle

  • sind eine simple Beschreibung einer komplexen Einheit (‘entity’) oder eines Prozesses.
  • leiten sich von einer Hypothese ab → eine Hypothese kann viele Modelle produzieren.
  • werden mit beobachteten Daten verglichen → dabei wird die Anpassungsgüte des Models an die Daten bewertet.

Bildquelle links: reality Baum von www.pixabay.com(CCO 1.0); Bildquelle rechts: ‘stick man graph’ von J. Nielsen (Masterarbeit: ‘Conversion of Graphs to Polygonal Meshes’, Technische Universität Kopenhagen, www.tchami.com)

Ziel der statistischen Modellierung | 1

  • Reduktion von Information / Vergleichbarkeit
  • Identifikation der wichtigsten erklärenden Variablen (Prädiktor, Einflusswert, Wirkungsvariable; ‘predictor’)
  • Bestimmung der Parameter-Werte, die erklärende (‘predictor’; X) und erklärte (‘response’, Y) Variablen verbindet
  • Modell-basierte Vorhersagen machen

Ziel der statistischen Modellierung | 2

  • Wir suchen nach einem Model, dass
    • die größte Menge der Variabilität in den Daten erklärt.
    • die kleinstmögliche Menge an nicht erklärbarer Variabilität produziert.
    • am besten zu den Daten passt.
  • Beide X und Y Variablen können quantitativ und/oder kategorial sein.

Kurvenanpassung

Die Kurvenanpassung (auch Ausgleichsrechnung oder Fit) ist eine mathematische Methode, gegebene (Mess-) Daten in möglichst einfacher analytischer Form darzustellen.

  • Ausgangspunkt des Verfahrens ist die Wahl einer geeigneten Funktion, welche so gewählt werden sollte, dass eine möglichst genaue Übereinstimmung der berechneten mit den gegebenen (gemessenen) Daten erzielt wird.
  • Für diese Optimierung wird üblicherweise die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (sog. ‘Least Squares’-Verfahren) verwendet.
    • Bei dieser Methode werden die Parameter meist mittels Computer in einem iterativen Verfahren geschätzt.
  • Das bekannteste Beispiel ist die lineare Regression.
    • Hier ist der Vorteil, dass sich die Parameter durch eine numerische Auflösung der linearen Gleichung berechnen lassen (‘Ordinary Least Squares’-Verfahren, OLS).

Gute vs. schlechte Modelle | 1

Varianz-Verzerrungs-Dilemma

Jedes Modell stellt einen Kompromiss zwischen Varianz und Verzerrung dar (sog. ‘Varianz-Verzerrungs-Dilemma’):

Varianz der Funktion

Der Anteil, um den sich die Funktion f(x) ändern würde, wenn man einen anderen Testdatensatz nimmt.

Verzerrung der Funktion

Der Fehler, der eingeführt wird, wenn man ein reales und kompliziertes Problem mit einem sehr einfachen Modell lösen möchte.

Gute vs. schlechte Modelle | 2

Über- vs. Unteranpassung

  • Überanpassung (‘overfitting’): Modelle passen sich besonders gut an die Daten an, mit denen auch die Parameter bestimmt werden; für neue Daten sind die Vorhersagen aber schlecht.
  • Unteranpassung (‘underfitting’): Modelle (wie eine lineare Gerade) passen sich weniger gut an die Daten an, mit denen auch die Parameter bestimmt werden; für neue Daten sind die Vorhersagen aber dafür passender.

Gute vs. schlechte Modelle | 3

Eingeschränkter Wertebereich

Oftmals kann man die Kurvenform aus einem Teilbereich der Daten nicht verlässlich ableiten. Dieses Problem tritt häufig bei exponentiellen Kurven im flachen Anfangsbereich auf:

Bildquelle: Screenshot vom RKI COVID-19-Dashboard(Stand 23.11.2020)

Biologische Modelle als Teilmodelle in komplexen Modellen

  • In der Meereswissenschaft lassen sich z.B. Populations-Wachstumsmodelle mit physikalischen Ozeanmodellen koppeln, indem ein Temperaturterm in das Wachstumsmodell eingeführt wird.
  • Moderne physikalische Ozeanmodelle berechnen in einem räumlichen 3D-Gitternetz für jeden Gitterpunkt in feinen Zeitschritten physikalische Parameter (Temperatur, Strömungsgeschwindigkeit, etc.).
  • Mögliche Simulationen: z.B. Verfolgung des Wachstum von driftenden Fischlarven, die von unterschiedlichen Orten (Laichplätzen) starten → bieten bestimmte Laichorte für Larven besonders günstige Wachstumsbedingungen, da Verdriftung stets in wärmere Gebiete führt?

Biologische Modelle als Teilmodelle in komplexen Modellen | Beispiel

Berechnetes potentielles Wachstum von Sprottenlarven (Länge: 10mm) in Abhängigkeit von der Temperatur in einem 3D Ozeanmodell (Quelle: A. Temming)

Einfachstes Modell: Lineare Regression

Funktion einer geraden Linie

\(y = a + bx\)

  • \(y\) ist die abhängige Variable.
  • \(x\) ist die unabhängige Variable.
  • \(a\) ist der y-Achsenschnittpunkt, das ist der Wert an dem die Linie die y-Achse kreuzt (wenn \(x\) Null ist).
  • \(b\) ist der Steigungskoeffizient und berechnet sich aus dem Quotienten der Differenz von \(y_1\) und \(y_2\) sowie von \(x_1\) und \(x_2\).
    • \(b\) gibt an, um wieviel \(y\) zunimmt (bzw. abnimmt), wenn \(x\) sich um 1 Einheit erhöht.

4 Typen der linearen Funktion

Ein Beispiel mit Zahlen

Typ A: Positive Steigung und
positiver Achsenabschnitt

  • Zwei unabhängige Größen wirken additiv auf das Ergebnis (Y) ein.
  • Achsenabschnitt a ist konstant, d.h. er ist unabhängig von der Ausprägung der Variable X.
  • Der andere Term wächst proportional zur Variable X.
  • Unabhängig bedeutet, das bei Wegfall des einen Terms der Effekt des anderen erhalten bleibt.

Beispiel: Eichgerade

  • y = Extinktion
  • x = Konzentration einer Lösung eines Stoffes
  • a = Blindwert des Lösungsmittels (sowie möglichen Verunreinigungen der Küvette).
  • Die Extinktion der Lösung addiert sich zu der Extinktion des gelösten Stoffes (bx).

Beispiel: Stoffwechselkosten

  • y = Stoffwechselkosten eines fressenden Tieres
  • x = Anzahl der erbeuteten Tiere
  • a = Grundstoffwechsel des ruhenden Tieres
  • b = energetische Kosten der Erbeutung (und Verarbeitung) eines Beutetieres(unter der impliziten Annahme, das die Beutetiere identisch sind)

Typ B: Positive Steigung, Achsenabschnitt Null

Hier wirkt nur ein Faktor auf die abhängige Variable ein. Man spricht auch von Proportionalität bei diesem Typ.

Beispiel: Isometrisches Wachstum

  • Bei isometrischem Wachstum ändert ein Körper seine Gestalt nicht, er wächst unter Beibehaltung seiner Proportionen.
  • Zum Nachweis kann man verschiedene Längenmaße in einer Grafik gegeneinander auftragen:

Typ C: Negative Steigung, positiver Achsenabschnitt

Beispiel: Energieabnahme eines hungernden Tieres mit der Zeit

  • \(y\) = Körpergewicht des Tieres
  • \(x\) = Zeit in Tagen
  • \(a\) = Anfangsgewicht des Tieres zu Beginn der Hungerperiode
  • \(b\) = entspricht dem Grundstoffwechsel pro Tag

Typ D: Positive Steigung, negativer Achsenabschnitt

Hier arbeiten zwei Prozesse gegeneinander, d.h. mit unterschiedlichem Vorzeichen.

Beispiel: Fischzuwachs

  • y = täglicher Zuwachs in Energieeinheiten
  • x = tägliche Futtermenge in Energieeinheiten
  • a = Zuwachs bei Null Futtermenge → Verlust an Energie
  • Wenn y=0 → bei der entsprechenden Futtermenge \(x_1\) ist Zuwachs gerade Null (=Erhaltungsration in Energieeinheiten).
  • b = Effizienz, mit der jede zusätzliche Menge an Nahrungsenergie in Energiezuwachs des Fisches umgesetzt wird.

Die beiden gegeneinander arbeitenden Prozesse sind die Energiezufuhr durch die Nahrung (positives Vorzeichen) und der Energieverbrauch durch den Erhaltungsstoffwechsel.

Wie werden a und b berechnet?

Das mathematische Werkzeug, dass dahinter steckt:

  • Gewöhnliche Methode der kleinsten Fehlerquadrate = Ordinary Least Squares (OLS)
  • OLS findet die Parameter a und b, basierend auf der Minimierung der Abweichungs-Summenquadrate (‘residual sums of squares’ = \(SS_{Residual}\)).

\[SS_{Residuen}=\sum e_i^2=\sum((a+b*x_i)-y_i)^2\rightarrow MIN\]

Regression durch den Achsenursprung

Typ B

Abweichungs-Summenquadrate

Wenn a = 0

\[SS_{Residuen}=\sum e_i^2=\sum((b*x_i)-y_i)^2\]

Minimierung der \(SS_{Residuen}\) | numerisch

Bildung der 1. Ableitung nach b und anschließend Null setzen:

\(SS_{Residuen}=(b*x_1-y_1)^2+(b*x_2-y_2)^2+....\) | Binomialgleichung anwenden

\(SS_{Residuen}=b^2x_1^2-2bx_1y_1+y_1^2 + b^2x_2^2-2bx_2y_2+y_2^2 +....\) | davon die 1. Ableitung

\(\frac{dSS_{Residuen}}{db}=2bx_1^2-2x_1y_1 + 2bx_2^2-2x_2y_2 +...\) | wieder als Summen schreiben

\(\frac{dSS_{Residuen}}{db}=2bx_1^2+2bx_2^2+...-2x_1y_1-2x_2y_2-...\)
\(\frac{dSS_{Residuen}}{db}=2b\sum x_i^2 - 2\sum x_iy_i\) | Null setzen und nach b auflösen

\(0=2b\sum x_i^2 - 2\sum x_iy_i\)
\(2\sum x_iy_i = 2b\sum x_i^2\) | durch 2 und Summe \(x^2\) teilen

\(b=\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}\) → Formel für die Steigung b mit a = 0

Parameterschätzung bei Typ A

Analog zu Regressionstyp B werden die Parameter mittels partieller Ableitungen und Gleichsetzung mit Null ermittelt. Bei der Bildung einer partiellen Ableitung z.B. nach a wird die andere Variable wie eine Konstante behandelt (und umgekehrt).

Steigung b

\[\begin{align} b&=\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}\\ &= \frac{\sum[(x_i-\bar{x})*(y_i-\bar{y})]}{\sum(x_i-\bar{x})^2} \\ &= \frac{SS_{XY}}{SS_{X}} = \frac{cov_{XY}}{s_{x}^2}\\ \end{align}\]

y-Achsenabschnitt a

\(a = \bar{y}-b\bar{x}\)

→ Da die Regressionslinie durch das Zentrum der Datenwolke geht (also durch den Mittelwert von x und y), braucht diese Formel nur nach a umgeformt werden:

\(\bar{y} = a -b\bar{x}\)

Varianzzerlegung in linearen Modellen

Die Gesamtstreuung (\(SS_Y\) oder \(SS_{Gesamt}\)) kann in 2 Komponenten zerlegt werden:

erklärbare Streuung = \(SS_{Regression}\) + nicht erklärbare Streuung = \(SS_{Residuen}\)

Wie gut ist das Modell?

Bestimmtheitsmaß \(R^2\)

Die statistische Kenngröße \(R^2\) ist ein Maß für den Anteil der Variabilität in y, welcher durch das lineare Modell erklärt werden kann:

\[R^2 = \frac{SS_{Regression}}{SS_{Gesamt}} = \frac{\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2}{\sum(y_i-\bar{y})^2}\] \[1 \geq R^2 \geq 0\]

  • Werte nahe 1 weisen auf eine sehr gute Beschreibung der Daten.
  • Werte nahe 0 weisen auf eine sehr hohe Streuung der Daten um die Gerade an
  • Bei \(R^2=1\) lägen alle Datenwerte exakt auf der Geraden.
  • In der Ökologie wird bereits ein \(R^2\) von 0.5 bzw. 50% als sehr gut erachtet.
  • \(R^2=1\) ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten \(r\)

Weitere lineare Modelle

Quadratische Funktionen

\(y=a+bx+cx^{2}\)

Wenn der Effekt einer erklärenden Variable x sich mit steigenden oder fallenden x-Werten verändert, kann ein Modell mit polynomialen Bedingungen die bessere Option sein.

Die quadratische Funktion hat drei Parameter und kann verschiedene Variationen an Parabeln produzieren.

Hinweis

Der Parameter a kontrolliert die Höhe der Parabel und b hat Einfluss auf die horizontale wie auch vertikale Positionierung der Parabel. Der Parameter c kontrolliert wie schnell die Parabel mit x steigt. Ist c positiv, ist die Parabel nach oben hin offen; ein negativer Wert kehrt die Parabel um.

Satz von Taylor

  • Die Taylor-Formel kommt aus der Analysis und besagt, dass jede glatte Funktion (‘smooth function’) mit einer unendliche Summe von Polynomen approximieren werden kann.
  • Es kann z.B. die polynomiale Funktion der 4ten Ordnung genommen werden, um eine recht deutlich nicht-lineare Kurve anzunähern: \(y = a + bx + cx^{2} + dx^{3} +ex^{4}\)
  • Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieurs- und Naturwissenschaften geworden.
  • Ein Problem ist allerdings, dass die Parameter nicht biologisch interpretierbar sind und Extrapolationen bei Polynomen höherer Ordnung zu unsicher sind

Bildquelle: Brook Taylor, Wikipedia (lizensiert unter CCO 1.0)

Demonstration der Taylor Formel

Link zur App hier

Was sind alles lineare Modelle?

Der Begriff linear bezieht sich auf die lineare Kombination von Parametern, nicht die Form der Verteilung, d.h. Parameter dürfen nicht im Exponenten auftreten oder durch/mit einem anderen Parameter dividiert/multipliziert werden.

Dies sind alles lineare Modelle

\[y = a + bx + cx^2\] \[y = a + b(x*w)\] \[y = a + b*log(x)\] \[y = a + b*exp(x)\] \[y = a + b*sin(x)\]

Warum benutzen wir lineare Modelle?

  • Die Methode der linearen Regression ist schon seit über 100 Jahren gut etabliert.
  • Vorteile:
    • einfach zu interpretieren (y-Achsenabschnitt, Steigung)
    • einfach zu begreifen (auch Interaktionen, mehrere x)
    • Parameter können weiter benutzt werden, z.B. in numerischen Modellen
    • einfach zu erweitern
  • Nachteil:
    • Dynamik ist nicht immer linear → Transformationen helfen nicht immer oder führen zu Informationsverlust.

Linearisierung: Was nicht grade ist kann häufig gerade gebogen werden

Exponentielles Wachstum oder Verfall | 1

Die e-Funktion

Exponentielles Wachstum oder Verfall kommt in vielen Bereichen der Biologie vor und lässt sich mit der Exponentialfunktion allgemein beschreiben:

  • Exponentielles Wachstum: \(Y =a * e^{bX}\),
  • Exponentieller Verfall: \(Y = a * e^{-bX}\).

Exponentielles Wachstum oder Verfall | 2

Populationswachstum: Parameterermittlung durch Transformation

  • Eine in der Biologie am häufigsten verwendete mathematische Funktionen ist die Exponentialfunktion in der Form:
    • \(N_t=N_0*e^{R*t}\)
      → Eine Population (\(N_t\)) deren Entwicklung mit der Zeit (\(t\)) exponentiell verläuft.
  • Diese Funktion hat zwei Parameter (\(N_0\) und \(R\)), die mittels linearer Regression bestimmt werden können - wenn die Funktion zuvor logarithmiert wird:
    • \(ln(N_t) = ln(N_0) + ln(e^{R*t}) = ln(N_0) + R*t\)
  • Beachte dabei folgende Regeln: \(ln(a*b) = ln(a) + ln(b)\) und \(ln(e^x) = x\)

Exponentielles Wachstum oder Verfall | 3

Linearisierung: Logarithmus-Transformation auf beiden Seiten

Da der natürliche Logarithmus die inverse Funktion einer Exponentialfunktion ist, \(ln(e^x) = x\), kann eine exponentielle Kurve in eine lineare Beziehung verändert werden, in dem man den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung nimmt.

Die Potenzfunktion | 1

Längen-Gewichts-Beziehungen

Ein typisches Beispiel für eine Beziehung, die nicht mit einer linearen Grafik dargestellt werden kann, ist in der Biologie die Beziehung zwischen dem Gewicht (W) eines Tieres (z.B. eines Fisches) und seiner Länge (L).

Für die meisten Arten folgt sie einer 2-Parameter Powerfunktion: \(W = aL^{b}\)

Beispiel: Königslachse

Längen und Gewichte für Königslachse von drei Orten in Argentinien (Daten sind im FSA R Paket zur Verfügung gestellt).

Die Potenzfunktion | 2

Linearisierung: Logarithmus-Transformation auf beiden Seiten

Die Potenzfunktion wird linear, wenn man sie doppelt logarithmiert!

\[ \begin{align} W &= aL^{b} \\ ln(W) &= ln(aL^{b})\\ ln(W) &= ln(a) + b*ln(L)\\ \Rightarrow Y &= a + b*X \end{align} \]

Linearisierung durch Transformation

Allgemeines Schema

Bildquelle: Zuur et al., 2007 (Kap. 4)

Anwendung der ‘bulging’ Regel

Generelle Transformations-Regeln

  • Alle Variablen verändern die Struktur der Streuung durch eine Transformation:
    • Ausreißer, oder generell alle numerisch großen Werte werden stärker reduziert.
    • Dadurch wird der mögliche Einfluss von großen Werten bzw. Ausreißern gemindert → je nach Struktur der Daten kann dies von Vor- oder Nachteil sein.
    • Die Verteilung der Daten kann sich normalisieren.
    • Die Streuung wird reduziert und Varianzen zwischen Gruppen angeglichen.
  • Die Beziehung zwischen Variablen kann linearisiert werden.
  • Logarithmische Transformation die gebräuchlichste, aber auch extremste.
  • Einfache Wurzel-Transformation und die 4te Wurzel sind gute Alternativen.

Übungsaufgabe

Übungsskript

Moodle

Das Übungsskript und Calc Handbuch wie auch alle weiteren Dateien stehen im Moodle-Kurs zur Verfügung!

Lernziele

Am Ende dieser Übungseinheit sollten Sie …

  • …eine lineare Regression in Calc manuell und mit dem Statistik-Assistenten berechnen können.
  • …Trendlinien in Streudiagrammen in Calc grafisch darstellen können.

Wie fühlen Sie sich jetzt…?

Total konfus?


Keine Sorge…

… dieses Thema wird nochmal in den Modulen Data Science 2, 3 und 4 aufgegriffen und vertieft.

Total gelangweilt?

Dann testen Sie doch Ihr Wissen in folgendem Abschlussquiz…

Abschlussquiz

Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de

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Kurswebseite: Data Science 1